Ściąga na egzamin z matematyki

Forma - odwzorowanie przyporządkowujące każdemu wektorowi X z przestrzeni Rn liczbę rzeczyw f:RnR
Formę nazywamy liniową  ^x,yRn f(x+y) = f(x) +f(y) ^x,yRn ^kR f(kx) = kf (x)
Formą dwuliniową nazywamy funkcję przyporządkowującą parze wektorów x i y z przestrzeni Rn liczbę rzeczywistą f (x,y), spełniającą warunki: f jest formą liniową ze względu na x (y) przy ustalonym y (x)
Formę kwadratową, w której x=y nazywamy formą kwadratową f(x,x) = xTAx, macierz A jest macie formy kwadra
^xRn xTAx >0 z wyjątkiem wektora zerowego; i istnieje wektor różny od wektora zerowego , dla którego ta forma przyjmuje wartość równą zero.
Funkcją wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych nazywamy odwzorowanie przyporządkowujące każdemu punktowi P(x1,x2,..xn) zbioru X dokładnie jedną liczbę rzeczywistą f(x1,x2,..xn) f: RnR
Niech Pk(x1k,x2k,...xnk) oznacza ciąg punktów w przestrzeni Rn a P0(x10,x20,...xn0) oznacza punkt w tej przestrzeni. Ciąg Pk nazywamy zbieżnym do punktu P0,co zapisujemy limk Pk=P0  ^1in limk xik=xi0
Niech funkcja f będzie określona na pewnym sąsiedztwie S(P0,r), a g niech oznacza pewną liczbę rzeczywistą. Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie P0  dla każdego ciągu (Pk) punktów PkS(P0,r) k=1,2,..n, i takiego, że limk Pk=P0, odpowiadający mu ciąg (f(Pk)) wartości funkcji f jest zbieżny do g, tzn limk f(Pk)=g
Mówimy, że funkcja f(P) jest ciągła w punkcie P0  ^PkS(P0,r) limk Pk=P0  limk f(Pk)=f(P0)
Pochodna cząstkowa. Zakładamy, że funkcja f(P) jest określona w otoczeniu punktu P0 o współrz. Niech x oznacza przyrost argumentu xi, taki przyrost, aby punkt Pi o współrz też należał do otoczenia tego punktu. Jeżeli ta granica istnieje i jest właściwa to nazywana jest pochodną cząstkową funkcji f względem argumentu xi w punkcie P0.
Twierdzenie Schwarza. Jeżeli funkcja wielu zmiennych posiada w otoczeniu punktu P0 wszytskie pochodne cząstkowe do rzędu k-1 włącznie, które są funkcjami ciągłymi w punkcie P0, to wszystkie pochodne mieszane rzędu k-tego, różniące się tylko kolejnością wykonywanych różniczkowań są funkcjami równymi w punkcie P0.
Różniczka zupełna rzędu I. Jeżeli funkcja ma skończone pochodne cząstkowe rzędu I, to różniczka zupełna funkcji w punkcie P0 przyjmuje postać df(P0)=f/xn (P0) xn
Różniczka zupełna rzędu k. Jeżeli funkcja wielu zmiennych posiada ciągłe pochodne cząstkowe rzędu k w punkcie P0, to różniczka zupełna rzedu k jest różniczką zupełną rzędu I z różniczki zupełnej k-1: d2f(P0)=d(dk-1(P0))
Różniczka zupełna rzędu II jest formą kwadratową ze względu na przyrosty xa,x2,...xn
Funkcja f(P) posiada w punkcie P0 maksimum (minimum) lokalne  istnieje takie sąsiedztwo punktu P0, że dla każdego punktu P należącego do tego sąsiedztwa , spełniona jest nierówność: f(P)f(P0) max; f(P)f(P0) min
Jeżeli funkcja wielu zmiennych posiada w pkt. P0 ekstremum i posiada w nim pochodne cząstkowe rzędu I, to przyjmują one w tym punkcie wartości równe zero.
Jeżeli funkcja wielu zmiennych posiada w punkcie stacjonarnym P0 ciągłe pochodne cząstkowe rzędu II, to:
- posiada w P0 maksimum lokalne właściwe  różniczka zupełna rzędu II w P0 jest ujemnie określona, a minimum gdy różniczka zupełna rzędu II w pkt. P0 jest dodatnio określona.
- nie posiada w punkcie P0 ekstremum gdy różniczka zupełna rzedu II w punkcie P0 jest nieokreślona
- przypadek nierozstrzygniety gdy różniczka jest półokreślona
Warunkiem koniecznym i wystarcz na to, aby w punkcie P0(x10,x20,..xn0) funkcja f posiadała ekstremum warunkowe przy warunkach gn(x1,x2,..xn)=0 jest spełnienie następującego układu równań L/x1 (P0)=0 Lxn (P0)=0 g1(x10,x20...xn0)=0 gn(x10,x20...xn0)=0.
Jeżeli w punkcie P0 dla =0 spełnione są warunki konieczne i w punkcie P0 funkcja f posiada ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu II włącznie, a funkcja g pochodne cząstkowe do rzędu I, to w punkcie P0 istnieje maksimum (minimum) warunkowe, gdy wyznacznik jest dodatni (ujemny).
Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym znajduje się funkcja argumentu x i jego pochodna.
Twierdzenie o warunkach koniecznych istnienia ekstremum funkcji wyższego rzędu, jeżeli:
1) funkcja f(x) posiada w otoczeniu punktu x0 wszystkie pochodne do rzędu n-tego włączenie i
2) pochodna rzędu n-tego jest funkcją ciągłą w punkcie x0 i
3) f’(x0)=f’’(x0)=…=f(n-1)(x0)=0 I
4) fn(x0)0 to
a)gdy n jest parzyste t w punkcie x0 funkcja posiada ekstremum, przy czym jest to: maksimum, gdy fn(x0)<0 minimum, gdy fn(x0)>0
b) gdy n jest nieparzyste to w pkt x0 funkcja ekstre nie posiada
Twierdzenie de L’Hospitala. Jeżeli:
1) f/g, f’/g’ są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x0 i
2) limxx0 f(x)=+- i limxx0 g(x)=+- lub
limxx0 f(x)=limxx0 g(x)=0
3)istnieje granica limxx0 f’(x)/g’(x) to istnieje granica limxx0 f(x)/g(x) i limxx0 f(x)/g(x)= limxx0 f’(x)/g’(x)
Definicja granicy wg. Heinego. Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę g  dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xnS(x0,r) i zbieżnego do x0, ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zbieżna do g.
Twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie: Jeżeli funkcja g(x) ma ciągłą pochodną na przedziale T i przekształca
ten przedział na zbiór X, na którym ciągła jest funkcja f(t), to:

Definicja całki oznaczonej Riemana
Załóżmy, że funkcja f jest ograniczona na przedziale <a,b>. Obieramy punkt a0,a1,a2,..an, tak aby był spełniony warunek: a=a0<a1<a2<...<an-1<an=b. Dzielimy przedział <a,b> na n-przedziałów, otrzymujemy: <a0,a1>,<a1,a2>,...<an-1,an> o długościach odpowiednio równych: x1=a1-a0, x2=a2-a1, xn=an-an-1. Największą z tych długości oznaczamy: max xi 1in i nazywamy średnicą przedziału <a,b>. Ciąg przedziałów przedziału nazywamy normalnym  odpowiadający mu ciąg średnic dąży do zera. Z każdego otrzymanego przedziału wybieramy po jednym punkcie ksi1, ksi2, ksin. Wyznaczamy odpowiadające tym punktom wartości funkcji. Mnożymy wartości funkcji przez długości przedziałów, otrzymujemy sumę iloczynów. Sumę tę nazywamy sumą całkową Riemana funkji f w przedziale <a,b> S= i=1n f(ksii)xi. Jeżeli dla dowolnego, normalnego ciągu przedziałów przedziału, odpowiadający mu ciąg sum całkowych Riemanna dąży do tej samej granicy (właściwej), bez względu na sposób wyboru punktów ksi, to tę granicę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale <a,b> i oznaczamy symbolem.
Otoczenie punktu U (P0,r) jest to zbiór wszystkich punktów P, których odległość od punktu P0 jest mniejsza od r U (P0,r) = {P: d(P,P0)<r}
Sąsiedztwo punktu P0 o promieniu r to otoczenie z wyłączeniem środka tego otoczenia, czyli punktu P0 S (P0,r) = U(P0,r)-{P0}
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granice (jeśli istnieje) ilorazu rożnicowego, gdy przyrost dąży do zera.
Funkcja, która ma pochodna w punkcie x0 jest różniczkowalna. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0 to jet w punkcie x0 ciągła.
Definicja Funkcja f(x) osiąga w punkcie x0 maksimum lokalne  jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie x0 i posiada w nim ekstremum, to posiada w punkcie x0 pochodna, która przyjmuje w nim wartość równą 0 lub w punkcie x0 pochodnej nie posiada
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu stacjonarnego x0 i... posiada maksimum (minimum).