Ogólny schemat badania przebiegu funkcji

Spis treści
1. Ogólny schemat badania przebiegu funkcji...........................................3
2. Przykłady...................................................................................................5

1. Ogólny schemat badania przebiegu funkcji

Zastosujemy obecne wyniki uzyskane w tym rozdziale do badania przebiegu funkcji podanych wzorem (wzorami) w postaci jawnej. Badanie przebiegu funkcji sprowadza się do poznania pewnych własności funkcji, które pozwolą następnie sądzić o kształcie wykresu tej funkcji. Różne części tego badania można ująć szczegółowo w następujących punktach:
I. Analiza funkcji. Badamy te własności, które wynikają tylko z jej wzoru, a więc:
i) wyznaczamy dziedzinÄ™ funkcji,
ii) określamy szczególne własności funkcji: parzystość, nieparzystość, okresowość itp.,
iii) wyznaczamy punkty nieciągłości funkcji,
iv) wyznaczamy granice funkcji na krańcach przedziału jej określoności,
v) wyznaczamy asymptoty,
vi) wyznaczamy punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych (dokładnie, o ile łatwo jest je wyznaczyć, lub w przybliżeniu).
II. Analiza pierwszej pochodnej. Badamy te własności, które wynikają z własności jej pierwszej pochodnej, a mianowicie:
i) obliczamy pierwszÄ… pochodnÄ…,
ii) wyznaczamy dziedzinę pierwszej pochodnej i punkty jej nieciągłości,
iii) wyznaczamy przedziały monotoniczności, tzn. przedziały, w których pierwsza pochodna jest dodatnia, ujemna lub równa zeru,
iv) wyznaczamy ekstrema funkcji:
a) w punktach, w których funkcja jest różniczkowalna,
b) w punktach, w których funkcja nie jest różniczkowalna.
III. Analiza drugiej pochodnej. Badamy te własności funkcji, które wynikają z własności jej drugiej pochodnej, a więc:
i) obliczamy drugÄ… pochodnÄ…,
ii) wyznaczamy dziedzinę drugiej pochodnej i punkty jej nieciągłości,
iii) wyznaczamy przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji, tzn. przedziały, w których druga pochodna jest dodatnia, ujemna lub równa zeru,
iv) wyznaczamy punkty przegięcia wykresu funkcji.
IV. Sporządzamy zestawienie tabelaryczne otrzymanych wyników.
V. SporzÄ…dzamy wykres funkcji.

Podany schemat przebiegu funkcji jest schematem ogólnym. Nie należy go traktować jako schematu ustalonego. W konkretnych przykładach niektóre z wyszczególnionych punktów mogą nie wchodzić w rachubę, mogą być natomiast potrzebne dodatkowe informacje, jak np. wartości funkcji w pewnych dodatkowych punktach czy też wartości pochodnych wyższego rzędu itp.

2. Przykłady

Przykład 1. Naszkicujemy wykres funkcji .
Od razu widać, że dziedziną funkcji f(x) jest zbiór R, a funkcja nie jest parzysta, ani nieparzysta i nie jest też okresowa. Jej wykres przecina osie układu współrzędnych w punkcie O(0,0).
Funkcja f(x) jest ciągła w całej dziedzinie. Na krańcach dziedziny, czyli w i w , mamy:

oraz
.
Ze względu na to, że funkcja ta jest funkcją ciągłą i Df = R, to funkcja f(x) nie ma asymptot pionowych, a z zachowania się funkcji przy x zdążającym do wiemy, że funkcja ta ma asymptotę poziomą lewostronną o równaniu y = 0. Zbadamy, czy funkcja ma asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną.

Rys. 1
Ponieważ mamy:
,
co oznacza, że nie istnieje asymptota ukośna (pozioma) prawostronna.
ObliczajÄ…c pierwszÄ… pochodnÄ… funkcji f(x), mamy:
.
Zatem funkcja f(x) rośnie tam, gdzie , czyli gdy . Natomiast dla funkcja f(x) maleje. Z powyższego wynika, że dla x = -1 funkcja osiąga minimum: .
ObliczajÄ…c drugÄ… pochodnÄ… funkcji f(x), mamy:
.
Druga pochodna jest dodatnia dla . Oznacza to, że dla funkcja f(x) jest wypukła, a dla funkcja f(x) jest wklęsła. Z powyższego wynika, że punkt jest punktem przegięcia.
Sporządzając tabelkę zmienności funkcji, mamy:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0
- - - 0 + + +
- 0 + + + + +
0( p. p. ( min & 0 &


Wykres rozważanej funkcji przedstawiono na rysunku 1.

Przykład 2. Naszkicujemy wykres funkcji:
.
Dziedziną funkcji jest zbiór Df =R . Miejsca zerowe funkcji wyznaczamy, rozwiązując równanie:
.
StÄ…d otrzymujemy: lub .
Obliczamy następnie granice funkcji na krańcach przedziału określoności:

.
Wynika stąd, że prosta x = 0 jest asymptotą pionową krzywej y = f(x),
Nie istnieje natomiast asymptota pozioma. Nie istnieje także asymptota ukośna prawostronna, ponieważ mamy:

,
co znaczyłoby, że istnieje asymptota, której, jak wiemy nie ma, ponieważ mamy:

.
ObliczajÄ…c pierwszÄ… pochodnÄ… funkcji f(x), mamy:
.
Pochodna ta ma jedno miejsce zerowe w punkcie x = e, ponadto:
,
.
Wynika stąd, że funkcja rośnie, gdy , a maleje, gdy . Oznacza to, że dla
x = e funkcja osiÄ…ga maksimum: .
ObliczajÄ…c drugÄ… pochodnÄ… funkcji f(x), mamy:
.
Pochodna ta jest równa zero dla oraz:
i .
Oznacza to, że w przedziale funkcja f(x) jest wypukła, a w przedziale jest wklęsła. Z powyższego wynika, że punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
Sporządzając tabelkę zmienności funkcji, mamy:
x (0,1) 1 (1, ) ( , ) ( ,+ )
+ + + 0 - - -
- - - - - 0 +
- & 0 & 1max ( 0p.p. (-






Wykres funkcji przedstawiono na rysunku 2.

Rys. 2

Przykład 3. Zbadamy funkcję:
.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór Df =R\\{1}. Badając granice na końcach dziedziny, mamy:
,
,
,
.
Druga z tych granic wskazuje na to, że wykres funkcji ma lewostronną asymptotę pionową o równaniu x = -1. Poszukując asymptot ukośnych, mamy następnie:
,

.
Wynika stąd, że wykres badanej funkcji ma obustronną asymptotę ukośną o równaniu
y = x – 1.
ObliczajÄ…c pierwszÄ… pochodnÄ… funkcji f(x), mamy:
.
Równanie ma dokładnie dwa pierwiastki:
, .
Analizując znak pierwszej pochodnej, stwierdzamy, że badana funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz i malejąca w przedziałach oraz . W punkcie funkcja f(x) ma maksimum , a w punkcie minimum .

Rys. 3
ObliczajÄ…c druga pochodnÄ… funkcji f(x), mamy:
.
Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek , przy czym , a ponadto:
,
.
Oznacza to, że w przedziale funkcja f(x) jest wypukła, a w przedziałach oraz jest ona wklęsła. Z powyższego wynika, że punkt jest punktem przegięcia wykresu badanej funkcji.
Sporządzając tabelkę zmienności funkcji, mamy:
x ( ,-1) -1 (-1, ) ( , )
+ 0 - x - - - 0 +
- - - x - 0 + + +
& -4.9max ( x 0( -0.03p. p. ( -0.08min (

Wykres funkcji przedstawiono na rysunku 3.